수학 전반에서 연산자의 넓은 의미는 자기 자신으로의 ( 즉, 정의역과 공역이 동일한 ) 함수를 말한다. 거듭제곱이나 제곱근, 팩토리얼, 가우스 함수 등 웬만한 함수는 수의 연산의 예시가 될 수 있다. 연산이라는 관점에서 보면 단항 연산 ( unary operation ) 이라는 표현이 사용되기도 하고, 프로그래밍#s-1이나 이산수학#s-4에서는 연산자라고 하면 이런 단항 연산으로서의 연산자를 의미한다. 논리 연산자처럼 이항 연산도 포함하는 경우가 있다.
다만, 이런 특수한 경우를 제외하면 보편적으로 연산자라 하면 특히 선형 연산자, 즉 벡터 공간 위의 선형 변환을 의미한다. 유한 차원 위의 연산자는 선형대수학에서 충분히 다루었으니만큼, 연산자를 주로 다루는 해석학 계열에서는 무한 차원 벡터 공간 위에서의 연산자를 주로 연구한다. 이 연산자 연구의 실제 목적 중 하나는 복합적인 미분들로 이루어진 미분 연산자/미분 작용소 ( differential operator ) 를 일반화시켜 연구하는 것이라 볼 수 있다. 함수들의 벡터 공간 위에서 미분은 선형 연산이므로, 미분으로 이루어진 식은 연산자로 볼 수 있다. 미분 자체를 보는 대신 이 연산자에 대한 성질을 탐구함으로서 미분방정식을 푸는 것이 현대 편미분방정식 이론의 보편화된 패러다임 중 하나이다. 물론, 무한 차원 연산자의 개념은 함수공간에만 국한되어 쓰이는 것은 아니고 다양한 곳에 활용될 수 있다. 이러한 맥락의 연산자는 순수수학에서는 작용소라는 이름으로 더 자주 불린다.
물리학, 특히 양자역학에서 연산자의 개념은 단순히 함수 정도가 아니라, 양자역학이라는 학문 자체가 연산자에 대한 독특한 물리적 이해를 바탕으로 엮어진 학문이라 보아도 무방할 정도로 중요한 지위를 가지고 있다. 이 물리학에서의 연산자도 수학에서의 연산자의 일종으로 간주될 수 있지만, 수학 연산자의 서술법과는 약간 차이를 보일 수 있다.
